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  • IT_⑦基礎理論

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【 基礎理論 : アルゴリズムとプログラミング: ② 】

* * * ✿ ✿

【 スタックとキュー 】
リストにデータの挿入や削除を行う際の考え方。

▶ スタック(stack)
スタック」とは、リストの最後にデータを挿入し、最後に挿入したデータを削除する方法です。
LIFOリスト」とも呼ばれます。
※ 【 LIFO 】
「Last In First Out」の略、後入先出法のこと。

スタックの基本構文:
PUSH(n) : データ (n) を挿入する。
POP : 最後のデータを削除する。↓↓※ 削除順番


stack_LIFO_push_pop

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▶ キュー(queue)
キュー」とは、リストの最後にデータを挿入し、最初に挿入したデータを削除する方法です。
待ち行列」「FIFOリスト」とも呼ばれます。
※ 【 FIFO 】
「First In First Out」の略、先入先出法のこと。

キューの基本構文:
ENQUEUE(n) : データ (n) を挿入する。
DEQUEUE : 最初のデータを削除する。↓↓※ 削除順番


queue_FIFO_enqueue_dequeue



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※ 【 木構造(tree structure) 】
「木構造」とは、データを階層構造で管理するときに使われる図のこと。
木構造の各要素を「節(node)」、最上位の節を「根(root)」、最下位の節を「葉(leaf)」、
各節を関連付ける線を「枝(branch)」といい、次のような形で表現される。

節から分岐する枝が2本以下の木構造を2分木(binary node)という。

tree_structure

* * * * * * * ✿ ✿ ✿ ✿ ✿
鼻水注意ほー☆なので、途中で寝まう…。
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【 基礎理論 : アルゴリズムとプログラミング: ① 】

【 データとデータ構造 】
データ」とは、コンピュータ内部で扱う情報のことです。
そのデータを、系統立てて扱う仕組みを、「データ構造」といいます。

システム開発にとって、データ構造の設計はすべての基礎になります。
目的の作業が実行できるようなデータ構造を、あらかじめ検討、設計しておく必要があります。


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◎ 基本的なデータ構造 ◎

▶ 変数
変数」とは、プログラム中で扱うデータを、一時的に記憶するための領域のことです。

変数を定義するときは、英数字や記号などを使った変数名を付け、ほかのデータとは区別します。
また、変数を使うときは、変数に値を代入します。

例として、
式 「 y = a + 10 」に対して、a = 10 を代入すると、y = 20 になります。
変数の特徴は、プログラムを実行するたびに違った値を代入できるため、
プログラム自体を書き換える必要がないことです。
変数はデータを入れておく箱のようなもの。
variable_00_

※ 【 定数 (constant) 】
「定数」とは、一定の値に固定されたデータのこと。変数の反義語。

※ 【 絶対値 (the absolute value) 】
「絶対値」とは、0からの距離を示す値のこと。
±1=絶対値1、±2=絶対値2、±3=絶対値3。+-符号を取った値。
tha_absolute_value


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▶ フィールドのタイプ
フィードのタイプ」とは、格納するデータの種類のことです。
データ型」とも呼ばれます。

プログラム中で扱うデータには、数値や文字列などのフィールドのタイプを定義します。
変数にフィールドのタイプを定義すると、適切なデータのみ代入できるようになるため、
プログラムの精度が向上します。


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▶ 配列
大量のデータを扱うには、変数ではなく「配列」というデータ構造を活用すると便利です。
ひとつのデータを記憶する変数に対して、
配列は同じ種類のデータを複数並べて記憶できます。

通常、配列arrayには連続的にデータを格納しますが、
個々のデータを識別する「添え字element number 要素番号?」を持っているため、
特定のデータを探したり、特定のデータから順にデータを取り出したりすることができます。

※ 【 配列の注意点 】
配列を利用するときは、あらかじめ配列の大きさや代入するデータの順番を決めておく必要がある。
配列の大きさや代入するデータの順番を後から変更するには、配列を再定義する必要がある。

array_subscript


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▶ リスト
リスト」は、散在する複数のデータを数珠つなぎにするデータ構造です。
配列のようにデータが連続的に記憶されているとは限りません。

リストでは、データとともに次のデータの格納位置を示す「ポインタ」と呼ばれる情報を持ちます。
データの入れ替えや追加の際は、ポインタを変更することで、データの繋がりを再定義できます。

list_00

※ 【 その他のデータ構造 】
レコード … 1行分のデータのこと。
ファイル … データをまとめたもののこと。



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【 基礎理論 : ⑦ 文字の表現 】

コンピュータ内部では、文字を2進数の数値として扱います。
文字に割り当てられた2進数のコードを「文字コード」といいます。

種類説明
ASCII
(アスキー)
ANSI(米国国家規格協会:American National Standard Institute)が規格した文字コード。
7ビットコード体系で、英数字・記号などを表し、パリティビットを1ビット付加して1バイトで表す。
JISJIS(日本工業規格:Japanese Industrial Standards)が規格した文字コード。
英数字・記号などを表す1バイトコード体系と、漢字やひらがなを表す2バイトコード体系がある。
シフトJISマイクロソフト社などが規格した文字コード。
「拡張JISコード」とも呼ばれ、
JISの2バイトコードとASCIIの1バイトコードを混在させた2バイトコード体系。
Windows、Mac OS など多くのコンピュータで利用されている。
EUCAT&T社が規格した文字コード。Extended UNIX Code 。
「拡張UNIXコード」とも呼ばれ、UNIXで漢字などが扱えるようにした2バイトコード体系。
EBCDIC
(エビシディック)
米国IBM社が規格した8ビットの文字コード。Extended Binary Coded Decimal Interchange Code。
主に汎用大型コンピュータで採用されている。
UnicodeISO(国際標準化機構)とIEC(国際電気標準会議)が企画した文字コード。
全世界の文字に対応した2バイトコード体系。


※ 【 パリティビット(parity bit) 】
文字コードなどの誤りを検出するためのビットのこと。

文字列の「1」の偶奇を数え、奇数であれば「1」を付け偶数に、
偶数であれば「0」を付け偶数のままにする。というように、データを整える。

読み取り側でも、偶奇のチェックを行い、偶奇が異なる場所があれば、
データが破損しているとみなし、データ再送などが行われる。


<< JIS コード表 >>
JIS_character_code_00
NUL = null character (空文字)
TC = transmission control character (伝送制御文字)
《SOH (TC1), STX (TC2), ETX (TC3), EOT (TC4), ENQ (TC5), ACK (TC6),
DLE (TC7), NAK (TC8), SYN (TC9), ETB (TC10) の総称》.
DEL = delete character (抹消文字・削除可能文字)
FE = format effector character (書式制御文字)
SO = shift-out character (シフトアウト文字)
SI = Shift-in character (シフトイン文字)
DC = device control character (装置制御文字)
CAN = cancel character (取り消し文字)
EM = end of medium character (媒体終端文字)
SUB = substitute character (置換文字)
ESC = escape character (拡張文字)
IS = information separator (情報分離文字)

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例:
日本語で、10文字分を表すために必要なbit数はいくらか?

日本語全角文字 = 1 文字 2 Byte 必要

⇒ 2 Byte × 10 文字 = 20 Byte

1Byte = 8 bit 。
20 Byte × 8 bit = 160 bit … A.160 bit 必要。


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例:
データベースに作業員の所属を表すコードのフィールドを用意することになった。
所属コードは数字のみ8桁まで使用する。
データベースに登録されている作業員は、25,000人である。
このとき、所属コードを保存する領域として、最少で何KB必要となるか?
データの圧縮等は行わない。

数字 = 1 文字 1 Byte 必要

所属コード: 8 桁 = 8Byte
⇒ 8 Byte × 25,000 = 200,000 Byte

1 KB = 1000 Byte
200,000 ÷ 1,000 = 200 … A.200 KB 必要。



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【 基礎理論 : ⑥ デジタル化 】
アナログデータ」をコンピュータで扱えるようにするには、
データをデジタル信号(0と1からなるコード)に変換して「デジタル化」する必要があります。

デジタル化することで、取扱いを容易に、また高速化し、データの利用範囲を広げることができます。
デジタルデータを活用することで、オリジナルであるアナログデータの劣化を防止したり、
データ活用の効率化を実現することができます。

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【 A/D変換 】
A/D変換」とは、アナログ信号からデジタル信号へ変換することです。
逆に、デジタル信号をアナログ信号に戻すことを「D/A変換」といいます。
:Analog to digital conveter A/D変換器

< A/D変換の流れ >
Analog_to_digital_converter
Analog_to_digital_converter_00
①標準化(サンプリング)=アナログデータを一定時間・区画ごとに区切って取り出す。(例:音楽)
②量子化=サンプリングで取り出したものを数値(ビット)で表す。
③符号化=一定の規則に従ってデータ化する。(例:10進数を2進数に基数変換して表現)
④符号のデジタル表示=符号化されたデータをデジタルデータに変換する。


※ 【 エンコード (encode) 】…
データを一定の規則に基づいて変換すること。エンコードを行うソフトの事を「エンコーダ」という。

※ 【 デコード (decode) 】…
エンコードされたデータから、一定の規則に基づいて変換し、元のデータを取り出すこと。
デコードを行うソフトの事を「デコーダー」という。

※ 【 サンプリングレート (sampling rate) 】…
1秒間にアナログデータを測定する回数のこと。(音楽)
「サンプリング周波数」とも呼ばれ、「Hz」で表す。
サンプリングレートが大きいほど、デジタルデータで再現できる音質が良い。
↕ ↕ ↕
※ 【 サンプリングと量子化 】…
アナログ信号は連続するデータ、デジタルシングは個々の途切れたデータ。
A/D変換時に、サンプリングの周期を短くし、量子化の段階を増やすことで、
より細かく数値を採ることができ、アナログデータに近づけることができる。


✿ デジタルデータの主な特徴
項目内容
データの送信遠隔地まで送信可能
データの共有ネットワーク上でのデータ共有可能
データの画像処理拡大・縮小、トリミングなどの加工・編集可能
データの画質劣化しない
データの圧縮可能
データの検索可能
データのコピー可能


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【 基礎理論 : ⑤ 情報量の単位 】
コンピュータの記憶容量や性能を表す情報量の単位には、
ビット(bit)」と「バイト(Byte)」があります。

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【 ビット(bit)とバイト(Byte) 】

ビット(bit)」…
コンピュータが扱うデータの最小単位。
1ビット(1bit、1b)」は、 2進数と同様に0と1で表されます。

バイト(Byte)」…
8ビットを「1バイト(1Byte、1B)」で表されます。

00000000
00000001
00000010
  28 = 256種類のデータを表現できる
11111110
11111111
↑ 1bit (8bit=1Byte)

※ 【 ビットで表現できるデータの種類 】
1ビット21= 2種類2ビット22= 4種類
3ビット23= 8種類4ビット24= 16種類
5ビット25 = 32種類6ビット26 = 64種類
7ビット27 = 128種類8ビット28 = 256種類




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【 情報量を表す単位 】
バイトより大きな情報を表す単位。⇒ 接頭辞+Byte
単位2進数乗数10進数表記
KB
キロバイト
210 = 1 024 B103 = 1 000 B
MB
メガバイト
220 = 1 048 576 (1024KB)106 = 1 000 000 (1000KB)
GB
ギガバイト
230 = 1 073 741 824 (1024MB)109 = 1 000 000 000 (1000MB)
TB
テラバイト
240 = 1 009 511 627 776 (1024GB)1012 = 1 000 000 000 000 (1000GB)
PB
ぺタバイト
250 = 1 125 899 906 842 624 (1024TB)1015 = 1 000 000 000 000 000 (1000TB)
EB
エクサバイト
260 = 1 152 921 504 606 846 976 (1024PB)1018 = 1 000 000 000 000 000 000 (1000PB)
ZB
ゼタバイト
270 = 1 180 591 620 717 411 303 424 (1024EB)1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 (1000EB)
YB
ヨタバイト
280 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 (1024ZB)1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 (1000ZB)
情報量を表すときは、210倍単位で変換するのが一般的です。(10進数は3乗ずつの単位。)
※ 通常SI(国際単位系The International System of Units)接頭語で
1000倍を表す時は「k」と小文字になりますが、情報量の210を表す場合は「K」と大文字で書いて区別します。


※ 【 接頭語 】
接頭語は独立して扱われず、ほかの単位と一緒に使われる。10の整数乗倍の数量を表す。
K(kilo)、M(mega)、G(giga)、T(tera)、P(peta)、E(exa)、Z(zetta)、Y(yotta)、
μ(micro)、n(nano)、p(pico) 等のこと。 ⇒ SI接頭辞


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【 時間を表す単位 】
コンピュータの処理速度を表す時に使われる、1秒未満の時間を表す単位。⇒ 接頭辞+second
単 位意 味
ms
(ミリ秒)
 1 ms = 10-3 s = 1/103 s
μs
(マイクロ秒)
 1 μs = 10-6 s = 1/106 s
ns
(ナノ秒)
 1 ns = 10-9 s = 1/109 s
ps
(ピコ秒)
 1 ps = 10-12 s = 1/1012 s


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【 基礎理論 : ④ 統計 】
統計」とは、収集したデータの規則性を調べることです。


【 データの代表値 】
データを代表する特性の値の呼び名。

説明
平均値
(Mean)
全体の合計をデータ数で割った値のこと。
一般的に"平均値"と呼んでいるものは"算術平均"のことである。
μ=χ1+χ2+χ3…+χn ÷ n (μ:母平均、χ:データ、n:合計データ数)
メジアン
(中央値:Median)
データを昇順、または降順に並べた場合に中央に位置する値のこと。
中央に位置するデータが2つある場合は、その中央の平均をメジアンとします。
例:{ 10, 20, 30 } ⇒メジアンは20 
  { 10, 20, 30, 40 } ⇒メジアンは20+30÷2=25
モード
(最頻値:Mode)
データの出現頻度の最も高い値のこと。
例:{ 10, 20, 30, 30 } ⇒モードは30


例:{ 50, 50, 50, 55, 70, 75, 75 }
Mean 60.7…、Median 62.5、 Mode 50 。 Mode < Mean < Median の大小関係になる。


※ 【 ワークサンプリング法 】
観測回数を決めて、ランダムな瞬間に、ある作業者の作業状況を観測し、
設備や作業時間などを分析する手法である。「瞬間観察法」とも呼ばれる。



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【 データの散布度 】
データの散布度」とは、個々のデータが、
平均値のまわりでどのようにばらついているのかの度合を数値で表現するものです。

同じ平均値を持つデータの集まりでも、個々のデータが異なる場合があります。

例:
グループA { 20, 21, 22, 19, 18 } 平均値 = 20
グループB { 10, 30, 5, 25, 30 } 平均値 = 20


この違いを表現する数値が、分布度の指標となる「分散」、「標準偏差」、「レンジ」等です。
説明
分散
(Variance)
(個々のデータの値-平均値)を2乗した値の合計をデータ数で割った値のこと。
標準偏差
(Standard Deviation)
分散の値の平方根。
レンジ
(Range)
値の範囲のことです。データの最大値から最小値を引いた値です。
例: { 10, 20, 40, 60 } ⇒レンジは60-10=50

分散度を見ると、平均では分からない全体の分布状態を把握できます。

グループAとグループBの分散度 - - - - - -

グループAグループB
平均値2020
分散{ (20-20)2+(21-20)2+(22-20)2+(19-20)2+(18-20)2 } ÷ 5
= ( 0+1+4+1+4 ) ÷ 5
= 10÷5
= 2
{ (10-20)2+(30-20)2+(5-20)2+(25-20)2+(30-20)2 } ÷ 5
= ( 100+100+225+25+100 ) ÷ 5
= 550÷5
= 110
標準偏差2 ≒ 1.414110 ≒ 10.488
レンジ22-18 = 430-5 = 25

※ 【 度数分布表 】
データの分析状態を表形式でまとめたもの。



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【 正規分布 】
事象が起こる確率が変数によって決まる場合、
変数と各事象が起こる確率との関係を「確率分布」といい、この変数を「確率変数」といいます。
確率分布の代表的なものに、「正規分布」があります。

正規分布(normal distribution)」とは、データの分布状態をグラフで表した時に、
グラフの形が「正規曲線」と呼ばれる曲線になるような分布
のことです。

正規曲線は、平均値を中心とした左右対称の釣鐘型の曲線です。

normal_distribution
↑ データの個数 → データの値 ※別称:ガウス分布(Gaussian distribution)

正規分布の特徴として、
平均値 ± 標準偏差 の範囲に、約68%
平均値 ± (標準偏差×2) の範囲に、 約95%
平均値 ± (標準偏差×3) の範囲に、 約99%

のデータが含まれます。

正規分布に従うデータの例:
多人数の身長、同じ工程で作られる多数の製品の重さ、測定の誤差 等

この様な性質から、工業製品の不良品の数といった、
平均値から大きくずれているデータの数を予測する場合などに利用します。

※ 【 ヒストグラム 】…
データの分布を棒グラフで表示するヒストグラムを使うこともできる。
ヒストグラムでは、データの全体像、中心の一、ばらつきの大きさなどを確認できる。


* * * ✿ ✿

例:
サイコロを振って、出た目の数だけスゴロクの駒を進める。
サイコロを1回投げた時の進める駒数の期待値はいくらか?

ただし、出た目が1と2のときは駒は進めないものとする。
また、サイコロは1~6までの数値を一葉乱数として出現させるものとする。


※ 【 期待値 】…
ある物事に対して試行を行った結果、得られる数値の平均値のこと。
ある事象が起こる確率×確率変数 の合計で求められる。

※ 【 一様乱数 】
ある範囲の数値からランダムに数値を選んだ場合に、すべての数値が等しい確率で出現すること。

サイコロを振って目が出る確率は一様乱数であるため、
それぞれの目が出る確率は、
1
――
6

確率変数は進める駒数となるため、※1、2の目は無効。
3~6の目が出現する期待値を求める計算式は次の通りである。
13
3の目……――×3=――
66

14
4の目……――×4=――
66

15
5の目……――×5=――
66

16
6の目……――×6=――
66


サイコロを1回投げた時の進める駒数の期待値は、
3456
――――――――=3
6666



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【 基礎理論 : ③ 確率 】
確率」とは、収集したデータの総数や、ある事象が現れる割合を判断する手法のことです。


* * * * * * * * * * ✿ ✿


【 順列 】
順列」とは、データの集まりの中から任意の個数を取り出して並べた時の並べ方の総数のことです。

異なるn個から任意にr個取り出して、 1列に並べた順列の数を 
nPr とあらわした場合、次の式で求めることができます。

<< 順列を求める計算式 >>
 nPr = n × ( n-1 ) × ( n-2 ) × … × ( n-r+1 ) 


例:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の数字から5個の異なる数字を取出し、4桁の数を作る場合何通りあるか。
8P5=8 ×(8-1)×(8-2)×(8-3)×(8-4)= 8×7×6×5×4 =6720 
A . 6720通り


* * * * * * * * * * ✿ ✿

【 組み合わせ 】
組み合わせ」とは、データの集まりの中から、
任意の個数を取り出すときの取り出し方の総数のことです。

異なるn個から任意のr個を取り出す組み合わせの数を
nCr と表した場合、次の式で求めることができます。

<< 組み合わせを求める計算式 >>
nPr n!
 nCr =―――=―――――
r!(n-r)! r!



※ 【!】…
「!」は階乗を表す記号です。例:「3! = 3×2×1 」


例:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の数字から5個の異なる数字を取出す場合の組み合わせは何通りあるか。
8P5 8×7×6×5×46720
―――=―――――――――――――――――――――――=―――=56通り
5!5×4×3×2×1120


例:
10社がそれぞれ1社ずつ個々に取引を行うのに必要な経路の数
10P2 10×990
10C2=―――=―――――――――――=―――=45通り
2!2×12

または、
n!10×9×8×7×6×5×4×3×2×13628800
―――=―――――――――――――――――――――――――――=――――=45通り
(n-r)! r!8×7×6×5×4×3×2×1×2×180640



樹形図を使用して求める:
tree_diagram_combinations
9+8+7+6+5+4+3+2+1+= 45通り


* * * * * * * ✿ ✿ ✿ ✿ ✿


【 確率 】
確率」とは、全体の事象に対して、ある事象の起こりうる数の割合です。

全体の事象の数がn通り、事象Aがそのうちのr通り起こる確率をP(A)と表した場合、
次の式で求めることができます。

<< 確率を求める計算式 >>
r
 P(A)=―――――
n


例:
10本のくじの中に当たりが4本あるとき、2本のくじを引いて2本とも当たりくじである確率

全体の事象の数: 10本から2本を引いた時の組み合わせ
10×9
10C2=――――=45通り
2×1


事象Aが起こる数: 4本の当たりくじから2本とも当たりを引く組み合わせ
4×3
4C2=――――=6通り
2×1


事象Aが起こる確率: 事象Aの数÷全体の事象の数
62
――=――
4515



その他の方法:

1回くじを引いて、当たりである確率:

当たりくじの数
――――――
くじの総数

2回くじを引くと考える:
4
1回目当たりくじを引く確率= ―――
10

3
2回目当たりくじを引く確率= ―――
9

求める確率:
432
――×――=――
10915


* * * * * * * ✿ ✿ ✿ ✿ ✿

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【 基礎理論 :② 論理演算・集合 】
論理演算は、コンピュータ内部、データベースにおけるデータ抽出、検索エンジンにおける
Webページ検索などに、使用されています。論理演算は、集合で考えると分かりやすくなります。

集合」=ある明確な条件に基づき、グループ化されたデータの集まりのことです。


集合は、「AまたはB」などの文章で表現することができます。
この表現方法を「命題」といいます。

命題によって表現した集合は、「ベン図」によって
図式化することができます。※ 命題の下は「論理式」。

venn_diagram_05

* * * * ✿ ✿

コンピュータの論理回路には中途半端な状態が存在しません。
電圧が有るか、電圧が無いかで回路の状態を考えます。

電圧が有るか無いかを表す値を「真理値」といいます。
真理値は、「1」=「真=True=電圧・
「0」=「偽=False=電圧・」を意味します。

※負論理の場合は電圧の有る状態を「0」、無い状態を「1」で表します。


論理回路は、2入力で1出力になっています。
入力Aと入力Bの状態(「0」か「1」の状態)の組み合わせにより、
出力Cは「0」か「1」のどちらかになるのかを決めます。

この2入力、1出力の組み合わせを表にしたものを「真理値表」といいます。
venn_diagram_01

* * * * * *

用語参考:

論理演算
「論理演算」とは、複数の条件(論理)の組み合わせを、式で表した時の演算方法のこと。

論理和(OR)
論理和は、入力される2つの値のうち、一方が1ならば、出力値が1となる論理演算です。
「+」で表します。0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1(有)

論理積(AND)
論理積は、入力される2つの値のうち、両方が1ならば、出力値が1となる論理演算です。
「・」で表します。0×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 1×1=1

否定(NO)
否定は、1つの入力値で出力が決まります。入力値が反転されます。
「 ̄」で表します。0⇒1, 1⇒0

排他的論理和(XOR)
排他的論理和は、2つの真理値が同じなら「0」、異なるなら「1」の出力値になります。
「⊕」で表します。排他的論理和はA・bar_Bbar_A・Bで表すことができます。
論理和と論理積、否定の組み合わせです。

venn_diagram_02_ A=0, B=0 : 0・0→1 + 0→1・0 = 0+0 = 0
 A=0, B=1 : 0・1→0 + 0→1・1 = 0+1 = 1
 A=1, B=0 : 1・0→1 + 1→0・0 = 1+0 = 1
 A=1, B=1 : 1・1→0 + 1→0・1 = 0+0 = 0



venn_diagram_03

=True



* * * * *

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回り込み解除

※ メモとして使用しています。正確な内容ではないので、参考にしないで下さい。orz ※


【 基礎理論 :① 2進数・8進数・10進数・16進数 】

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【 データ表現の基礎 】
コンピュータ内部では、電流の有無や電圧の高低などにより、データを認識し処理しています。
電流の有無や電圧の高低などによって認識されたデータは、「0」と「1」の組み合わせで表現されます。

◎2進数
電流の有無・電圧の高低を表す「0」「1」の数値による表現。各桁は 2 の累乗になる。

◎10進数
「0」~「9」の10種類の数字を使った表現。各桁は 10 の累乗になる。

◎8進数
「0」~「7」の8種類の数字を使った表現。各桁は 8 の累乗になる。

◎16進数
「0」~「9」+「A」~「F」の10種類の数字と6種類の文字を使った表現。各桁は 16 の累乗になる。
※10~15をA~Fで表現する。

2進数10進数8進数16進数:2進数10進数8進数16進数
000010019119
111110101012A
1022210111113B
1133311001214C
10044411011315D
10155511101416E
11066611111517F
11177710000162010
10008108





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【 基数変換 】
基数変換とは、ある進数から別の進数に置き換える事です。

※ 「基数」…
1桁で表現できる数。2進数=0~1の2種類で基数は2。10進数=10。8進数=8。16進数=16。


◎ 2進数 ⇒ 10進数 変換
桁の性質を利用して変換します。
2進数 = 各桁は、2の累乗を表している。20、21、22
10進数 = 各桁は、10の累乗を表している。100(1の位)、101(10の位)、102(100の位)…
※ 「n0」… nの値がどのようでも、n0=1

↓↓↓ 桁が表す数を足していきます。
例: (1110)2 を10進数に変換する。

(    1    1    1    0    )2
= 23×1 + 22×1 + 21×1 + 20×0
= 8×1 + 4×1 + 2×1 + 1×0
= 8 + 4 + 2 + 0
= (14)10



◎ 10進数 ⇒ 2進数 変換
10進数を 2 で割っていきます。

例: (10)10 を2進数に変換する。
2)10 0
2) 5 0
2) 2 1
  1 
     ← 余りを書く。
 
 ↑
 ↑

  ※ 商が「1」になるまで、2で割る。

⇒ 矢印の順に並べる。最後の商と余りを前から並べて書く。
(10)10 ⇒ (1010)2


※ 「2進数の書き方・読み方」…
「(1110)2」のように、数字を括弧で括り、横に進数の基数を付けます。
「イチ、イチ、イチ、ゼロ」と一桁ずつ読みます。

※ 「10進数の数字」…
( 2 0 1 4 )10
= 103×2 + 102×0 + 101×1 + 100×4
= 2000 + 0 + 10 + 4
= 2014

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◎ 2進数 ⇒ 8進数 16進数 変換
・2進数 3桁は、8進数 1桁に変換できる。⇒ 23 = 8
・2進数 4桁は、16進数 1桁に変換できる。⇒ 24 = 16

例: (11110)2を、8進数、16進数に変換する。

< 2進数⇒8進数 > 下位の桁から数えて、3桁ずつ区切って10進数に変換
11110
36
↓↓
 (36)8


< 2進数⇒16進数 > 下位の桁から数えて、4桁ずつ区切って10進数に変換
1___1110
1___14
↓↓
 (1E)16


◎ 8進数 16進数 ⇒ 2進数 変換
・8進数 1桁は、2進数 3桁に変換できる。
・16進数 1桁は、2進数 4桁に変換できる。

例: (62)8 、(F5)16 を2進数に変換する。

< 8進数⇒2進数 > 1桁ずつ区切り、2で割り、2進数の表示に並べる。
62
110010
↓↓
 (110010)2

※ 2進数が2桁になる場合は、0を3桁目に付けて、3桁にする。

< 16進数⇒2進数 > 1桁ずつ区切り、2で割り、2進数の表示に並べる。
F5
11110101
↓↓
 (11110101)2

※ 2進数が3桁になる場合は、0を4桁目に付けて、4桁にする。



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【 符号付き 2進数 】
符号付き 2進数とは、2進数で負の数を扱うための表現方法のことです。
最上位ビットを「符号ビット」として扱うことによって、「+」と「-」の符号を区別します。
最上位ビットが「0」の場合は、「+」を表し、「1」の場合は、「-」を表します。

例: 8ビット
        
 ↑ 符号ビット : 0=+、1=- を表す。

符号なし2進数8ビットでは、0~255の値を表現できます。
符号付き2進数8ビットでは、最上位の1ビットを符号ビットとして使用するため、
値を表現できる桁は7ケタになります。
そのため、符号付き2進数8ビットでは、最大で-128~127の値を表現できます。

※ 「表現できる値の範囲」…
ビット数に応じた表現できる値の範囲
 ビット数 符号なし2進数 符号付き2進数
 4 0~15 -8~7
 8 0~255 -128~127
 12 0~4095 -2048~2047
 16 0~65535 -32768~32767
 32 0~4294967295 -2147483648~2147483647


※ 「MSB」…
「Most Significant Bit」の略。2進数の一番左側のビットのこと。


* *

代表的な符号付き2進数の種類

例: (5)10の8ビットでのマイナス表現

◎ 1の補数
1の補数」とは、正の数のビット数を反転させて、負の数を表現します。
※ 「補数」…
ある数を足すと、桁が一つ繰り上がる数のこと。


①正の数のビットを求める ⇒ 00000101
②ビットを反転させる ⇒ 11111010 …………1の補数
(00000101)2=(5)10 、 (11111010)2=(250)10
1進数9bit目=9 (00000101)2=(2)10 (11111010)2=(7)10…になるということかな?(・ω・;)

◎ 2の補数
2の補数」とは、1の歩数に1を加えて、負の数を表現します。

①1の補数を求める ⇒ 11111010
②1の補数に1を加える ⇒ 11111011 …………2の補数

2進数9bit目=256、 (11111011)2=(251)10


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【 2進数の加算・減算 】
2進数を加算・減算するときは、10進数と同じように下の桁をそろえて、下の桁から計算します。

◎ 加算
※「(1)2+(1)2=(10)2

例: (1101)2+(011)2を計算する。

111←桁上げ
(1101)2
(011)2
-----------------------------
(10000)2


◎ 減算
※「(10)2+(1)2=(1)2

例: (1101)2-(011)2を計算する。

01←桁下げ
(1101)2
(011)2
-----------------------------
(1010)2



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